Les bureaux de vote ont ouvert à 06H00 GMT et fermeront à 18H00 GMT. Les premiers résultats sont attendus dans la soirée.
Quatre candidats briguent la magistrature suprême, et M. Josipovic, juriste de formation et compositeur de musique classique, devrait affronter au second tour, le 11 janvier, la candidate du camp conservateur, Kolinda Grabar Kitarovic, ancien chef de la diplomatie croate (2003-2008).
Selon un dernier sondage, M. Josipovic, qui brigue un deuxième mandat successif de cinq ans, est crédité de 46,5 % de voix contre 34,9 % pour sa rivale.
La Constitution croate donne au président des pouvoirs limités. Il est le commandant suprême des forces armées et gère ensemble avec le gouvernement la politique étrangère, informe l'AFP.